Question

9．已知函數$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}-2ax+3）$．
（1）若函數的定義域為R，求實數a的取值范圍；
（2）若函數的值域為（-∞，-1]，求實數a的取值范圍；
（3）若函數在區(qū)間$（\frac{1}{2}，1）$上為增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據對數函數的性質，求出函數g（x）的最小值大0，解不等式即可；
（2）根據復合函數的單調性得到g（x）的最小值是2，求出a的值即可；
（3）結合函數的單調性得到關于a的不等式組，解出即可．

解答 解：記g（x）=x²-2ax+3=（x-a）²+3-a²，
（1）由題意知g（x）＞0對x∈R恒成立，
∴$g{（x）_{min}}=3-{a^2}＞0$
解得$-\sqrt{3}＜a＜\sqrt{3}$
∴實數a的取值范圍是$（-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$．-----------（4分）
（2）由函數$y={log_{\frac{1}{2}}}u$是減函數及函數$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}-2ax+3）$的值域為（-∞，-1]
可知   x²-2ax+3≥2．
由（1）知g（x）的值域為[3-a²，+∞），
∴$g{（x）_{min}}=3-{a^2}=2$．
∴a=±1．-----------（8分）
（3）由題意得$\left\{\begin{array}{l}a≥1\\{1^2}-2a×1+3≥0\end{array}\right.$，解得1≤a≤2，
∴實數a的取值范圍是[1，2]．-----------（12分）

點評 本題考查了對數函數、二次函數的性質，考查復合函數的單調性問題，是一道中檔題．