Question

16．已知F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P為以雙曲線的焦距2c為直徑的圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，若△PF₁F₂面積的最小值為$\frac{1}{2}$a²，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． （1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]
• C． [$\frac{\sqrt{6}}{2}$，+∞）
• D． （1，2]

Answer 1

分析 由題意得，△PF₁F₂為以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|≥$\frac{1}{2}$a²，即|PF₁|•|PF₂|≥a²，再由勾股定理和雙曲線的定義，結(jié)合離心率公式，計(jì)算即可得到所求范圍．

解答 解：由題意得，△PF₁F₂為以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，
$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|≥$\frac{1}{2}$a²，即|PF₁|•|PF₂|≥a²，
則4c²=${\left|P{F}_{2}\right|}^{2}$+${\left|P{F}_{1}\right|}^{2}={（\right|P{F}_{1}|-|P{F}_{2}\left|）}^{2}$+2|PF₁||PF₂|
≥4a²+2a²=6a²，
則e=$\frac{c}{a}$≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題突出考查雙曲線的定義、方程、性質(zhì)，注重通性通法．另外試題構(gòu)造了最小值情境，背景新穎，為考生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法解決實(shí)際問題提供了廣闊的空間．