Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}（{n≥1，n∈{N^*}}）$，數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)，2公比的等比數(shù)列．
（Ⅰ）求證：數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列$\left\{{\frac{b_n}{a_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對(duì)遞推公式兩邊取倒數(shù)得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=2，由等差數(shù)列的定義可證明數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是等差數(shù)列；
（Ⅱ）由等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出$\frac{1}{{a}_{n}}$和b_n，代入$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$化解，利用錯(cuò)位相減法和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出S_n．

解答 證明：（Ⅰ）對(duì)a_n+1=$\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}（{n≥1，n∈{N^*}}）$兩邊取倒數(shù)得，
$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=2+$\frac{1}{{a}_{n}}$，則$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
由a₁=1知，數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列；
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，$\frac{1}{{a}_{n}}$=2n-1，
∵數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)，2公比的等比數(shù)列，
∴$_{n}={2}^{n-1}$，則$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=（2n-1）•2^n-1，
∴S_n=1•2⁰+3•2¹+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1，
2S_n=1•2¹+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
兩式相減得，-S_n=1+2（2¹+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ
=1+2×$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ
=-3+（3-2n）•2ⁿ，
所以S_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推公式的化簡(jiǎn)，等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，數(shù)列求和的方法：錯(cuò)位相減法，考查化簡(jiǎn)、變形能力，注意結(jié)果要化到最簡(jiǎn)．