【題目】在如圖所示的幾何體中,正方形所在的平面與正三角形所在的平面互相垂直, ,且, 是的中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)求面與面所成銳二面角的大小.
【答案】(1)見解析(2) 60°
【解析】試題分析:
(1)連接AE交BF于點(diǎn)N,連接MN,MN∥AD,由此能證明AD∥平面BFM.(2)推導(dǎo)出BE⊥AB,從而BE⊥平面ABC,取BC的中點(diǎn)O,連接OM,以O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角E-BM-F的余弦值.
解析:
(1)證明:
連接交于點(diǎn),連接,
因?yàn)?/span>是正方形,所以是的中點(diǎn),
又是的中點(diǎn),所以,
因?yàn)?/span>平面平面,
所以平面;
(2)解法一:
因?yàn)?/span>是正方形,所以,因?yàn)槠矫?/span>平面,平面平面,所以平面,因?yàn)?/span>,所以取的中點(diǎn).連接,則平面,因?yàn)?/span>是正三角形,所以,
所以以為坐標(biāo)原點(diǎn), 所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:設(shè),
則,
,
設(shè)面的法向量為,
則,
令,則,
∴,
設(shè)面的法向量為,則
,
令,則, ∴,
,因?yàn)榍竺?/span>與面所成銳二面角, ∴平面與平面所成二面角的平面角為60°.
(2)解法二:
因?yàn)橹本,所以面與面的交線與之平行,即,
分別取的中點(diǎn),連,
因?yàn)?/span>,且,根據(jù)射影定理,所以,
所以,
所以,
所以為所求銳二面角的平面角,
設(shè),則,
所以,
所以為正三角形,所以,
所以為所示銳二面角為60°.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某化工廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料,需要A,B,C三種主要原料,生產(chǎn)1扯皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如表所示:
配料 原料 | A | B | C |
甲 | 4 | 8 | 3 |
乙 | 5 | 5 | 10 |
現(xiàn)有A種原料200噸,B種原料360噸,C種原料300噸,在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料.已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料,產(chǎn)生的利潤(rùn)為2萬(wàn)元;生產(chǎn)1車品乙種肥料,產(chǎn)生的利潤(rùn)為3萬(wàn)元、分別用x,y表示計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù).
(1)用x,y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域;
(2)問(wèn)分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料,求出此最大利潤(rùn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線與拋物線相交于、兩點(diǎn).
(1)求證:“如果直線過(guò)點(diǎn),那么”是真命題;
(2)寫出(1)中命題的逆命題,判斷它是真命題還是假命題,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示,截面為A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=,AC=2,A1C1=1,.
(1)證明:BCA1D;
(2)求二面角A-CC1-B的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中,E是BC的中點(diǎn),
平面B1ED交A1D1于F。
(1)指出F在A1D1上的位置,并說(shuō)明理由;
(2)求直線A1C與DE所成的角的余弦值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
下圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無(wú)害化處理量(單位:億噸)的折線圖
(1)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系,請(qǐng)建立關(guān)于的回歸方程(系數(shù)精確到0.01);
(2)預(yù)測(cè)2018年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量.
附注:
參考公式:設(shè)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組觀察值為,
則回歸直線方程的系數(shù)為:
, .
參考數(shù)據(jù): , .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以C為圓心且與BD相切的圓上,則的最大值為( )
A. B. C. -2 D. 0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),在點(diǎn)處的切線方程為
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若過(guò)點(diǎn)),可作曲線的三條切線,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若對(duì)于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值,都有,求實(shí)數(shù)的最小值.
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