Question

6．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點$（0，\sqrt{3}）$，離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓方程；
（2）過R（1，1）作直線l與橢圓交于A、B兩點，若R是線段AB中點，求直線l方程；
（3）過橢圓右焦點作斜率為k的直線l₁與橢圓交于M、N兩點，問：在x軸上是否存在點P，使得點M、N、P構(gòu)成以MN為底邊的等腰三角形，若存在，求出P點橫坐標(biāo)滿足的條件；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）運用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，運用作差法和中點坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，計算即可得到所求直線的方程；
（3）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點為G（x₀，y₀），l₁：y=k（x-1），代入橢圓的方程，運用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式，設(shè)P（m，0），兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，計算即可得到m的范圍．

解答 解：（1）由題意可得b=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
又a²-c²=b²=3，
解得a=2，c=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）k不存在的情況顯然不成立；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則3x₁²+4y₁²=12，
3x₂²+4y₂²=12，
相減可得3（x₁-x₂）（x₁+x₂）+4（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
由中點坐標(biāo)公式可得x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
可得AB的斜率為k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-$\frac{3}{4}$，
即有直線的方程為y-1=-$\frac{3}{4}$（x-1），即為3x+4y-7=0；
（3）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點為G（x₀，y₀），
l₁：y=k（x-1），代入橢圓的方程，可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，可得x₀=$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，y₀=-$\frac{3k}{3+4{k}^{2}}$，
設(shè)P（m，0），k_PG=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-m}$=-$\frac{1}{k}$，
即為$\frac{3{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$-m，解得m=$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，即有m∈（0，$\frac{1}{4}$）．
故存在，P點橫坐標(biāo)滿足的條件為（0，$\frac{1}{4}$）．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式，考查橢圓的方程的運用，主要是點差法和直線的斜率公式，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式，以及兩直線垂直的條件，屬于中檔題．