Question

19．已知集合D=$\left\{{（x，y）\left|{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\right.}\right\}$，有下面四個命題：
p₁：?（x，y）∈D，$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$≥3        p₂：?（x，y）∈D，$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$＜1
p₃：?（x，y）∈D，$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$＜4        p₄：?（x，y）∈D，$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$≥2
其中的真命題是（　�。�

• A． p₁，p₃
• B． p₁，p₄
• C． p₂，p₃
• D． p₂，p₄

Answer 1

分析 集合D=$\left\{{（x，y）\left|{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\right.}\right\}$表示焦點在x軸上，長軸長為4，短軸長為2$\sqrt{3}$的橢圓，$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$表示橢圓上的點到（1，0）點的距離，進而得到答案．

解答 解：集合D=$\left\{{（x，y）\left|{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\right.}\right\}$表示焦點在x軸上，長軸長為4，短軸長為2$\sqrt{3}$的橢圓，

$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$表示橢圓上的點到（1，0）點的距離d，
則d∈[1，3]，
故p₁：?（x，y）∈D，$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$≥3，為真命題，
p₂：?（x，y）∈D，$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$＜1，為假命題，
p₃：?（x，y）∈D，$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$＜4，為真命題，
p₄：?（x，y）∈D，$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$≥2，為假命題，
故p₁，p₃是真命題，
故選：A．

點評 本題考查的知識點是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩點之間的距離公式，全稱命題和特稱命題，難度中檔．