Question

4．設f（x）=3^x+m3^-x，m、x是實數．
（1）若y=|f（x）|是偶函數，求m的值；
（2）若x≥1時，3^x[f（x）+1]≥0恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）當m=1時，若log₃[3^xf（x）]-2x＞a對一切實數x成立，求a的最大值．

Answer 1

分析 （1）若y=|f（x）|是偶函數，根據偶函數的定義建立方程即可求m的值；
（2）若x≥1時，3^x[f（x）+1]≥0恒成立，等價為f（x）+1≥0恒成立，解不等式即可求實數m的取值范圍；
（3）當m=1時，求出函數f（x）的表達式，利用參數分離法進行求解即可．

解答 解：（1）若y=|f（x）|是偶函數，
則f（-x）=f（x），即|3^-x+m3^x|=|3^x+m3^-x|，
3^-x+m3^x=3^x+m3^-x，①或3^-x+m3^x=-3^x-m3^-x，②
由①得m=1，由②得m=-1．
綜上m=1或m=-1；
（2）若x≥1時，3^x[f（x）+1]≥0恒成立，
則等價物f（x）+1≥0，
即3^x+m3^-x+1≥0，
即（3^x）²+3^x+m≥0恒成立，
則m≥-[（3^x）²+3^x]，
∵y=-[（3^x）²+3^x]=-（3^x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
∵x≥1，則3^x≥3，
∴y≤-（9+3）=-12，
∴m≥-12．
（3）當m=1時，f（x）=3^x+3^-x，
則log₃[3^xf（x）]-2x＞a對一切實數x成立，
等價為log₃[3^x（3^x+3^-x）]-2x＞a對一切實數x成立，
即log₃[（3^x）²+1]-2x＞a
則log₃$\frac{{3}^{2x}+1}{{3}^{2x}}$＞a，
∵log₃$\frac{{3}^{2x}+1}{{3}^{2x}}$＞log₃1=0，
∴a≤0，
即實數m的取值范圍是（-∞，0]．

點評 本題主要考查函數奇偶性的應用，以及不等式恒成立問題，利用參數分離法是解決本題的關鍵．考查學生的運算能力．