Question

13．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足acosB+bcosA=2ccosC．
（1）求C；
（2）若△ABC的面積為2$\sqrt{3}$，a+b=6，求∠ACB的角平分線CD的長度．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)正弦定理將邊化角，化簡得出cosC；
（II）根據(jù)三角形的面積公式列方程解出CD．

解答 解：（Ⅰ）∵acosB+bcosA=2ccosC，
∴sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
即sinC=2sinCcosC，
因為0＜C＜π，所以$cosC=\frac{1}{2}$，故$C=\frac{π}{3}$； 
（Ⅱ）在△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴$∠ACD=∠BCD=\frac{π}{6}$．
∵S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD，
∴2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$a$•CD•sin\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}•b•CD•sin\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$（a+b）•CD•sin$\frac{π}{6}$．
解得$CD=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．