Question

13．為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=$\frac{40}{3x+5}$（1≤x≤10），設(shè)f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）隔熱層修建多厚對，總費用f（x）達(dá)到最小，并求最小值．

Answer 1

分析 （I）將建造成本和能源消耗總費用相加即可得出f（x）；
（II）利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出f（x）的最小值．

解答 解：（I）每年能源消耗費用為C（x）=$\frac{40}{3x+5}$，建造費用為6x，
∴f（x）=20C（x）+6x=$\frac{800}{3x+5}+6x$．（1≤x≤10）．
（II）f′（x）=6-$\frac{2400}{（3x+5）^{2}}$，令f′（x）=0得x=5或x=-$\frac{25}{3}$（舍）．
∴當(dāng)1≤x＜5時，f′（x）＜0，當(dāng)5＜x≤10時，f′（x）＞0．
∴f（x）在[1，5）上單調(diào)遞減，在[5，10]上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=5時，f（x）取得最小值f（5）=70．
∴當(dāng)隔熱層修建5cm厚時，總費用最小，最小值為70萬元．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法，解析式的求解，屬于中檔題．