Question

7．求函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+4x+3}{{x}^{2}+3}$的值域．

Answer 1

分析 可設(shè)y=f（x），從而有y=$\frac{{x}^{2}+4x+3}{{x}^{2}+3}$，可將該式整理成關(guān)于x的方程的形式：（y-1）x²-4x+3y-3=0，該方程有解．這樣可討論y=1和y≠1：y=1時(shí)容易判斷符合條件，而y≠1時(shí)，便有△≥0，這樣解不等式即可得出y的范圍，即函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：設(shè)y=f（x），則y=$\frac{{x}^{2}+4x+3}{{x}^{2}+3}$；
∴yx²+3y=x²+4x+3；
∴（y-1）x²-4x+3y-3=0，可看成關(guān)于x的方程，方程有解；
∴①若y=1，x=0，即滿足方程有解；
②若y≠1，上面方程為一元二次方程，則：
△=16-4（y-1）（3y-3）≥0；
解得$1-\frac{2\sqrt{3}}{3}≤y≤1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
∴綜上得原函數(shù)的值域?yàn)閇$1-\frac{2\sqrt{3}}{3}，1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$]．

點(diǎn)評 考查函數(shù)值域的概念，形容$y=\frac{a{x}^{2}+bx+c}{d{x}^{2}+ex+f}$的函數(shù)的值域的求法：整理成關(guān)于x的方程，根據(jù)方程有解求，以及一元二次方程有解時(shí)判別式△取值情況，不要漏了討論方程中二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況．