Question

10．F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，滿足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，若△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑之比為$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$+1
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 設(shè)P為雙曲線的右支上一點(diǎn)，由向量垂直的條件，運(yùn)用勾股定理和雙曲線的定義，可得|PF₁|+|PF₂|，|PF₁|•|PF₂|，再由三角形的面積公式，可得內(nèi)切圓的半徑，再由直角三角形的外接圓的半徑即為斜邊的一半，由條件結(jié)合離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)P為雙曲線的右支上一點(diǎn)，
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，即為$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
由勾股定理可得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²，①
由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，②
①-②²，可得|PF₁|•|PF₂|=2（c²-a²），
可得|PF₁|+|PF₂|=$\sqrt{8{c}^{2}-4{a}^{2}}$，
由題意可得△PF₁F₂的外接圓的半徑為$\frac{1}{2}$|F₁F₂|=c，
設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑為r，可得
$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$r（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|），
解得r=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{8{c}^{2}-4{a}^{2}}$-2c），
即有$\frac{\sqrt{8{c}^{2}-4{a}^{2}}-2c}{2c}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
化簡(jiǎn)可得8c²-4a²=（4+2$\sqrt{3}$）c²，
即有c²=$\frac{2}{2-\sqrt{3}}$a²，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用向量垂直的條件和勾股定理，以及雙曲線的定義，考查三角形的外接圓的半徑和內(nèi)切圓半徑的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．