Question

16．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱AB上的動點．
（1）求證：DA₁⊥ED₁；
（2）若直線DA₁與平面CED₁成角為45°，求$\frac{AE}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件中的垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，要證明DA1⊥ED1，只需證明$\overrightarrow{D{A}_{1}}•\overrightarrow{E{D}_{1}}$=0即可，建立空間直角坐標(biāo)系后，寫出有關(guān)點的坐標(biāo)，得到向量$\overrightarrow{D{A}_{1}}$和$\overrightarrow{E{D}_{1}}$的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積的計算公式進行計算．
（2）先利用求平面法向量的計算公式，求出平面CED₁的法向量，由已知直線與平面成角為45°，利用夾角公式得到方程，解出$\frac{AE}{AB}$的值．

解答 證明：（1）以D為坐標(biāo)原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，1，2），A1（1，0，1），
設(shè)E（1，m，0）（0≤m≤1）
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{E{D}_{1}}$=（-1，-m，1），
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$•$\overrightarrow{E{D}_{1}}$=-1+0+1=0，
所以DA1⊥ED1．
解：（2）設(shè)平面CED1的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{C{D}_{1}}=（0，-1，1）$，$\overrightarrow{CE}$=（1，m-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{D}_{1}}=-y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=x+（m-1）y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得y=1，x=1-m，得$\overrightarrow{n}$=（1-m，1，1）．
∵直線DA1與平面CED1成角為45o，∴sin45°=$\frac{|\overrightarrow{D{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{D{A}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|2-m|}{\sqrt{2}•\sqrt{{m}^{2}-2m+3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得m=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{AE}{AB}$的值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要以正方體為幾何背景考查線線垂直、線面角、點到直線的距離、向量法等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的空間想象能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力．