Question

6．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線均與圓（x-2）²+y²=1相切，則雙曲線的離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，求得圓的圓心為（2，0），半徑為1，運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，化簡(jiǎn)整理可得a²=3b²，運(yùn)用a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算可得所求值．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線為
y=±$\frac{a}$x，即為bx±ay=0，
由漸近線與圓（x-2）²+y²=1相切，可得
$\frac{|2b|}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=1，
化為a²=3b²，
由c²=a²+b²=$\frac{4}{3}$a²，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用漸近線方程和直線和圓相切的條件：d=r，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．