Question

11．已知點P為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右支上一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線的左右焦點，且|F₁F₂|=$\frac{^{2}}{a}$，I為△PF₁F₂的內(nèi)心，若λS${\;}_{△IP{F}_{1}}$=λS${\;}_{△IP{F}_{2}}$+S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$成立，則λ的值為$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），三角形PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑為r，運用雙曲線的a，b，c的關(guān)系和離心率公式可得e=1+$\sqrt{2}$，運用雙曲線的定義和三角形的面積公式，化簡整理可得λ=$\frac{a}{c}$=$\frac{1}{e}$，即可得到所求值．

解答 解：設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），三角形PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑為r，
由$|{F_1}{F_2}|=\frac{b^2}{a}$，即為2ac=b²=c²-a²，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²-2e-1=0，
解得e=1+$\sqrt{2}$（1-$\sqrt{2}$舍去），
由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
由${S_{△IP{F_1}}}={S_{△IP{F_2}}}+λ{S_{△I{F_1}{F_2}}}$，可得
$\frac{1}{2}$r|PF₁|=$\frac{1}{2}$r|PF₂|+$\frac{1}{2}$λr|F₁F₂|，
即為|PF₁|-|PF₂|=λ|F₁F₂|，
即有2a=2λc，
即λ=$\frac{a}{c}$=$\frac{1}{e}$=$\sqrt{2}$-1．
故答案為：$\sqrt{2}$-1．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查離心率和定義的運用，同時考查三角形的面積公式的運用，運算求解能力，屬于中檔題．