Question

19．已知$\overrightarrow{a}$=（1，-x），$\overrightarrow$=（x²，4cosθ），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1，θ∈[-π，π]．
（1）當(dāng)θ=$\frac{2}{3}$π時(shí)，該函數(shù)f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，$\sqrt{2}$]上不單調(diào)，求θ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得f（x），代入θ=$\frac{2}{3}$π后利用配方法求得函數(shù)最值；
（2）由f（x）在區(qū)間[1，$\sqrt{2}$]上不單調(diào)，得1$＜2cosθ＜\sqrt{2}$，然后求解三角不等式得答案．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{a}$=（1，-x），$\overrightarrow$=（x²，4cosθ），得
f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1=x²-4xcosθ-1，
當(dāng)$θ=\frac{2π}{3}$時(shí)，f（x）=x²+2x-1=（x+1）²-2．
函數(shù)f（x）在[-2，2]上的最大值f（x）_max=f（2）=7，最小值f（x）_min=f（-1）=-2；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，$\sqrt{2}$]上不單調(diào)，則1$＜2cosθ＜\sqrt{2}$，即$\frac{1}{2}＜cosθ＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵θ∈[-π，π]，∴θ∈（$-\frac{π}{3}，-\frac{π}{4}$）∪（$\frac{π}{4}，\frac{π}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，訓(xùn)練了利用配方法求二次函數(shù)的最值，考查三角不等式的解法，是中檔題．