Question

8．點F是橢圓E：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的左焦點，過點F且傾斜角是銳角的直線l與橢圓E交于A、B兩點，若△AOB的面積為$\frac{9}{2}$，則直線l的斜率是$\frac{{\sqrt{15}}}{15}$．

Answer 1

分析 求出橢圓的a，b，c，求得F的坐標，設直線AB：x=my-4，（m＞0），代入橢圓方程，可得（25+9m²）y²-72my-81=0，運用韋達定理，由△AOB的面積為S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{9}{2}$，兩邊平方，化簡整理，解方程即可得到m，進而得到直線l的斜率．

解答 解：橢圓E：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的a=5，b=3，c=4，
則F（-4，0），
設直線AB：x=my-4，（m＞0），
代入橢圓方程，可得（25+9m²）y²-72my-81=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
y₁+y₂=$\frac{72m}{25+9{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-81}{25+9{m}^{2}}$，
則|y₁-y₂|²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=（$\frac{72m}{25+9{m}^{2}}$）²-4•$\frac{-81}{25+9{m}^{2}}$=$\frac{8100（1+{m}^{2}）}{（25+9{m}^{2}）^{2}}$，
則△AOB的面積為S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{9}{2}$，
兩邊平方可得，16•$\frac{8100（1+{m}^{2}）}{（25+9{m}^{2}）^{2}}$=81，
解得m=$\sqrt{15}$，
即有直線l的斜率為$\frac{{\sqrt{15}}}{15}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{15}}}{15}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，主要考查橢圓的方程的運用，聯(lián)立直線方程，運用韋達定理，考查化簡運算能力，屬于中檔題．