Question

3．已知b_n=$\frac{n}{n+1}$，S_n=$\frac{n-4}{2（n-2）}$．求實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，4a•S_n＜b_n恒成立．

Answer 1

分析 通過(guò)S_n=$\frac{n-4}{2（n-2）}$、b_n=$\frac{n}{n+1}$易知當(dāng)n≥5時(shí)S_n＞0，分n＜5、n≥5兩種情況討論即可．

解答 解：∵S_n=$\frac{n-4}{2（n-2）}$，b_n=$\frac{n}{n+1}$，
∴S₁=$\frac{1-4}{2（1-2）}$=$\frac{3}{2}$，b₁=$\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$，S₂不存在，
∵4a•S_n＜b_n恒成立，
∴a＜$\frac{_{1}}{4{S}_{1}}$=$\frac{\frac{1}{2}}{4×\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{8}$，
∵S₃=$\frac{3-4}{2（3-2）}$=-$\frac{1}{2}$，b₃=$\frac{3}{3+1}$=$\frac{3}{4}$，
∴a＞$\frac{_{3}}{4{S}_{3}}$=$\frac{\frac{3}{4}}{4×（-\frac{1}{2}）}$=-$\frac{3}{8}$，
∵S₄=$\frac{4-4}{2（4-2）}$=0，b₄=$\frac{4}{4+1}$=$\frac{4}{5}$，
∴4a•S_n＜b_n恒成立，
∵當(dāng)n≥5時(shí)，S_n＞0，4a•S_n＜b_n恒成立，
∴a＜$\frac{_{n}}{4{S}_{n}}$=$\frac{\frac{n}{n+1}}{\frac{4（n-4）}{2（n-2）}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{n}^{2}-2n}{{n}^{2}-3n-4}$恒成立，
∵$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{n}^{2}-2n}{{n}^{2}-3n-4}$=1，
∴a＜$\frac{1}{2}$，
綜上所述：-$\frac{3}{8}$＜a＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，涉及極限等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．