Question

13．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上遞減，若不等式f（x³-x²+a）+f（-x³+x²-a）≥2f（1）對x∈[0，1]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． [$\frac{23}{27}$，1]
• B． [-$\frac{23}{27}$，1]
• C． [1，3]
• D． （-∞1]

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分類法以及導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可．

解答 解：∵定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上遞減，
∴不等式f（x³-x²+a）+f（-x³+x²-a）≥2f（1）等價(jià)為2f（x³-x²+a）≥2f（1）
即f（x³-x²+a）≥f（1）對x∈[0，1]恒成立，
即-1≤x³-x²+a≤1對x∈[0，1]恒成立，
即-1-a≤x³-x²≤1-a對x∈[0，1]恒成立，
設(shè)g（x）=x³-x²，則g′（x）=3x²-2x=x（3x-2），
則g（x）在[0，$\frac{2}{3}$）上遞減，在（$\frac{2}{3}$，1]上遞增，
∵g（0）=g（1）=0，g（$\frac{2}{3}$）=-$\frac{4}{27}$，
∴g（x）∈[-$\frac{4}{27}$，0]，
即$\left\{\begin{array}{l}{-1-a≤-\frac{4}{27}}\\{1-a≥0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{a≥-\frac{23}{27}}\\{a≤1}\end{array}\right.$，得-$\frac{23}{27}$≤a≤1，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法結(jié)合導(dǎo)數(shù)法，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．