【題目】如圖,在四棱錐,,,.

(1)求證:平面;

(2)若,求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】

(1)因?yàn)?/span>所以要證平面,即證平面,轉(zhuǎn)證(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),,,分別為軸,軸,軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.分別求出平面與平面的法向量,代入公式,即可得到二面角的余弦值.

(1)證明:取的中點(diǎn),連接,所以.

因?yàn)?/span>,所以四邊形為平行四邊形,

所以,且.,

所以,

所以,所以.

又因?yàn)?/span>,所以平面.

又因?yàn)?/span>,所以平面.

(2)由(1)知平面,過點(diǎn)于點(diǎn),

故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),,分別為軸,軸,軸的正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

,,,

所以,.,

設(shè)平面的法向量為

,得

,得平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)平面的法向量為,

,得,

,得平面的一個(gè)法向量為,

所以.

因?yàn)槎娼?/span>是一個(gè)銳二面角,所以余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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