Question

8．某超市從2014年甲、乙兩種酸奶的日銷售量（單位：箱）的數(shù)據(jù)中分別隨機抽取100個，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分組，得到頻率分布直方圖如圖：

假設甲、乙兩種酸奶獨立銷售且日銷售量相互獨立．
（Ⅰ）寫出頻率分布直方圖（甲）中的a的值；記甲種酸奶與乙種酸奶日銷售量（單位：箱）的方差分別為$s_1^2$，$s_2^2$，試比較$s_1^2$與$s_2^2$的大小；（只需寫出結論）
（Ⅱ）估計在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰有一個高于20箱且另一個不高于20箱的概率；
（Ⅲ）設X表示在未來3天內(nèi)甲種酸奶的日銷售量不高于20箱的天數(shù)，以日銷售量落入各組的頻率作為概率，求X的數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）按照題目要求想結果即可．
（Ⅱ）設事件A：在未來的某一天里，甲種酸奶的銷售量不高于20箱；事件B：在未來的某一天里，乙種酸奶的銷售量不高于20箱；事件C：在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰好一個高于20箱且另一個不高于20箱．求出P（A），P（B），P（C）．
（Ⅲ）X的可能取值為0，1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望．

解答 （共13分）
解：（Ⅰ）a=0.015； …（2分）
s₁²＞s₂²．…（4分）
（Ⅱ）設事件A：在未來的某一天里，甲種酸奶的銷售量不高于20箱；
事件B：在未來的某一天里，乙種酸奶的銷售量不高于20箱；
事件C：在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰好一個高于20箱且另一個不高于20箱．則P（A）=0.20+0.10=0.3，P（B）=0.10+0.20=0.3．…（6分）
所以 $P（C）=P（\overline A）P（B）+P（A）P（\overline B）=0.42$．…（8分）
（Ⅲ）由題意可知，X的可能取值為0，1，2，3．…（9分）
P（X=0）=C₃⁰×0.3⁰×0.7³=0.343，
P（X=1）=C₃¹×0.3¹×0.7²=0.441，
P（X=2）=C₃²×0.3²×0.7¹=0.189，
P（X=3）=C₃³×0.3³×0.7⁰=0.027．
所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P	0.343	0.441	0.189	0.027

…（11分）
所以X的數(shù)學期望EX=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．…（13分）

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列期望的求法，獨立重復試驗概率的求法，考查計算能力．