Question

6．數(shù)列{F_n}滿足F₁=1，F(xiàn)₂=1，F(xiàn)_n+2=F_n+1+F_n（n∈N^*），求證：$\frac{1}{{F}_{1}}$+$\frac{1}{{F}_{2}}$+…+$\frac{1}{{F}_{n}}$+…＜4．

Answer 1

分析 由數(shù)列遞推式可得數(shù)列為遞增數(shù)列，得到F_n+2＞2F_n，然后分n為奇數(shù)和偶數(shù)采用放縮法證得數(shù)列不等式．

解答 證明：由題意知：F_n＞0，
∴F_n+2=F_n+1+F_n＞F_n+1，
∴{F_n}為遞增數(shù)列．
∴F_n+2=F_n+1+F_n＞F_n+F_n，
即F_n+2＞2F_n，
當n為奇數(shù)時，
∴F₅＞2F₃=2×2，F(xiàn)₇＞2F₅＞2²F₃=2²×2，…，F(xiàn)_n＞${2}^{\frac{n-3}{2}}$×2，
∴F₆＞2F₄=2×3，F(xiàn)₈＞2F₆＞2²F₄=2²×3，…，F(xiàn)_n-1＞${2}^{\frac{n-5}{2}}×3$．
∴$\frac{1}{{F}_{1}}$+$\frac{1}{{F}_{2}}$+…+$\frac{1}{{F}_{n}}$+…＜1+1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+（$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{\frac{n-1}{2}}}$）+（$\frac{1}{\sqrt{2}×3}+\frac{1}{3\sqrt{2}×2}+\frac{1}{3\sqrt{2}×{2}^{2}}+…+$$\frac{1}{3\sqrt{2}×{2}^{\frac{n-6}{2}}}$）
=2+$\frac{5}{6}$$+\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{\frac{n-3}{2}}}）}{1-\frac{1}{2}}$$+\frac{1}{3\sqrt{2}}×\frac{1-\frac{1}{{2}^{\frac{n-4}{2}}}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{20+2\sqrt{2}}{6}＜4$；
當n為偶數(shù)時，同理可證$\frac{1}{{F}_{1}}$+$\frac{1}{{F}_{2}}$+…+$\frac{1}{{F}_{n}}$+…＜4．
綜上，$\frac{1}{{F}_{1}}$+$\frac{1}{{F}_{2}}$+…+$\frac{1}{{F}_{n}}$+…＜4．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列與不等式的綜合，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，訓練了放縮法證明數(shù)列不等式，綜合性強，難度大．