Question

4．已知銳角△ABC中，A=2B，AC=2，則BC的范圍為（　�。�

• A． （2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$）
• B． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）
• C． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
• D． [2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理和A=2B及二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)得到BC=4cosB，根據(jù)銳角△ABC和A=2B求出B的范圍，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵△ABC是銳角三角形，C為銳角，
∴A+B≥$\frac{π}{2}$，由A=2B得到B+2B＞$\frac{π}{2}$，且A=2B＜$\frac{π}{2}$，
解得：$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosB＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
根據(jù)正弦定理$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{BC}{sinA}$，A=2B，
得到$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}=\frac{BC}{2sinBcosB}$，
即BC=4cosB∈（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$），
則BC的取值范圍為（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查考查了正弦定理，以及二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)求值，利用正弦定理是解決本題的關(guān)鍵．