Question

15．設(shè)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x-a^x＞0在（0，$\frac{1}{4}$）上恒成立，a＞0且a≠1，求a范圍（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． （0，1）
• C． （0，1）∪（1，16]
• D． （1，16]

Answer 1

分析 可以先畫出函數(shù)$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}x$及y=a^x的圖象，然后據(jù)圖加以分析，只要當(dāng)$x∈（0，\frac{1}{4}）$時(shí)，前者函數(shù)圖象在后者函數(shù)圖象的上方即可．要注意對(duì)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a加以討論解決問(wèn)題．

解答 解：由$lo{g}_{\frac{1}{2}}x-{a}^{x}＞0$，得$lo{g}_{\frac{1}{2}}x＞{a}^{x}$當(dāng)$x∈（0，\frac{1}{4}）$時(shí)恒成立．
當(dāng)a＞1時(shí)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象如下：

易知，當(dāng)$x=\frac{1}{4}$時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)圖象上的點(diǎn)在指數(shù)函數(shù)圖象上的點(diǎn)上方即可，即$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}≥{a}^{\frac{1}{4}}$，解得1＜a≤16；
同理，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，亦有$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}≥{a}^{\frac{1}{4}}$，解得0＜a＜1．
綜上可知，所求a的范圍是（0，1）∪（1，16]．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要是考查了不等式恒成立問(wèn)題的解題思路，一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解，本題主要是借助于函數(shù)的圖象解決問(wèn)題，即也考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法．