20.求下列函數(shù)的定義域、值域.
(1)y=x+$\sqrt{2x-1}$;
(2)y=$\frac{2x-1}{3+x}$;
(3)y=|x+1|+|x-2|;
(4)y=$\frac{3{x}^{2}+3x+1}{{x}^{2}+x+1}$.

分析 (1)解2x-1≥0可得定義域,由函數(shù)單調遞增可得值域;
(2)分離常數(shù)法可得y=2-$\frac{7}{3+x}$,由$\frac{7}{3+x}$≠0可得;
(3)分類討論取絕對值可得;
(4)令t=x2+x+1=(x+$\frac{1}{2}$)2+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$,換元可得y=3-$\frac{2}{t}$,由t≥$\frac{3}{4}$和不等式的性質可得.

解答 解:(1)由2x-1≥0可解得x≥$\frac{1}{2}$,
∴y=x+$\sqrt{2x-1}$的定義域為[$\frac{1}{2}$,+∞),
由函數(shù)單調遞增可得當x=$\frac{1}{2}$時,y取最小值$\frac{1}{2}$,
∴y=x+$\sqrt{2x-1}$的值域為[$\frac{1}{2}$,+∞);
(2)y=$\frac{2x-1}{3+x}$=$\frac{2(3+x)-7}{3+x}$=2-$\frac{7}{3+x}$,
∵$\frac{7}{3+x}$≠0,∴2-$\frac{7}{3+x}$≠2,
∴函數(shù)的值域為{x|x≠2},定義域為{x|x≠-3};
(3)函數(shù)y=|x+1|+|x-2|的定義域為R,
當x≤-1時,y=-2x+1≥3,當-1<x<2時,y=3,
當x≥2時,y=2x-1≥3,故函數(shù)的值域為[3,+∞);
(4)令t=x2+x+1=(x+$\frac{1}{2}$)2+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$,
故函數(shù)的定義域為R,
換元可得y=$\frac{3{x}^{2}+3x+1}{{x}^{2}+x+1}$=$\frac{3t-2}{t}$=3-$\frac{2}{t}$,
由t≥$\frac{3}{4}$可得0<$\frac{2}{t}$≤$\frac{8}{3}$,故-$\frac{8}{3}$≤-$\frac{2}{t}$<0,
∴$\frac{1}{3}$≤3-$\frac{2}{t}$<3,即函數(shù)的值域為[$\frac{1}{3}$,3)

點評 本題考查函數(shù)的定義域和值域,涉及分類常數(shù)法和換元等方法,屬中檔題.

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