Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，解答下列問題：
（1）求證：在函數(shù)的定義域內(nèi)任取x₁，x₂，當(dāng)x₁+x₂=1時．都有f（x₁）+f（x₂）=1成立
（2）求f（$\frac{1}{11}$）+f（$\frac{2}{11}$）+f（$\frac{3}{11}$）+…+f（$\frac{10}{11}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由f（x₁）+f（x₂）=f（x₁）+f（1-x₁），利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、運算法則能證明當(dāng)x₁+x₂=1時，f（x₁）+f（x₂）=1．
（2）由當(dāng)x₁+x₂=1時f（x₁）+f（x₂）=1，能求出f（$\frac{1}{11}$）+f（$\frac{2}{11}$）+f（$\frac{3}{11}$）+…+f（$\frac{10}{11}$）的值．

解答 證明：（1）∵f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，
∴在函數(shù)的定義域內(nèi)任取x₁，x₂，當(dāng)x₁+x₂=1時，
f（x₁）+f（x₂）=f（x₁）+f（1-x₁）=$\frac{{4}^{{x}_{1}}}{{4}^{{x}_{1}}+2}$+$\frac{{4}^{1-{x}_{1}}}{{4}^{1-{x}_{1}}+2}$
=$\frac{{4}^{{x}_{1}}}{{4}^{{x}_{1}}+2}+\frac{{4}^{\;}}{{4+2•4}^{{x}_{1}}}$=$\frac{{4}^{{x}_{1}}}{{4}^{{x}_{1}}+2}$+$\frac{2}{{4}^{{x}_{1}}+2}$=1．
解：（2）由（1）得：
f（$\frac{1}{11}$）+f（$\frac{2}{11}$）+f（$\frac{3}{11}$）+…+f（$\frac{10}{11}$）
=5×1
=5．

點評 本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．