Question

7．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，給出下列命題：
①“a²+b²＞c²”是“C角為銳角”的充要條件；
②“△ABC為銳角三角形”是“a⁵+b⁵=c⁵“的既不充分也不必要條件；
③“a${\;}^{\frac{5}{4}}$+b${\;}^{\frac{5}{4}}$=c${\;}^{\frac{5}{4}}$”是“△ABC為鈍角三角形”的充分不必要條件；
④若命題p：?A＞B，sinA＞sinB，則￢p：?A＞B，sinA＜sinB．
其中所有正確命題的序號是①③．

Answer 1

分析 ①根據(jù)余弦定理進行判斷，
②根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及余弦定理進行判斷．
③根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及余弦定理進行判斷．
④根據(jù)含有量詞的命題的否定進行判斷．

解答 解：①若“a²+b²＞c²”，則cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞0，則C是銳角，
若C角為銳角，則cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞0，即a²+b²＞c²，則“a²+b²＞c²”是“C角為銳角”的充要條件；故①正確；
②由a⁵+b⁵=c⁵，得c最大，即C最大，
則（$\frac{a}{c}$）⁵+（$\frac{c}$）⁵=1，
則0＜$\frac{a}{c}$＜1，0＜$\frac{c}$＜1，
則1=（$\frac{a}{c}$）⁵+（$\frac{c}$）⁵＜（$\frac{a}{c}$）²+（$\frac{c}$）²，
即a²+b²＞c²，cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞0，則C是銳角，則“△ABC為銳角三角形，即必要性成立，故②錯誤，
③∵a${\;}^{\frac{5}{4}}$+b${\;}^{\frac{5}{4}}$=c${\;}^{\frac{5}{4}}$，∴得c最大，即C最大，
∴（$\frac{a}{c}$）${\;}^{\frac{5}{4}}$+（$\frac{c}$）${\;}^{\frac{5}{4}}$=1，
則1=（$\frac{a}{c}$）${\;}^{\frac{5}{4}}$+（$\frac{c}$）${\;}^{\frac{5}{4}}$＞（$\frac{a}{c}$）²+（$\frac{c}$）²，
∴a²+b²＜c²，cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＜0，則△ABC為鈍角三角形，即充分性成立，
若B為鈍角，則b最大，則a${\;}^{\frac{5}{4}}$+b${\;}^{\frac{5}{4}}$=c${\;}^{\frac{5}{4}}$不成立，即③“a${\;}^{\frac{5}{4}}$+b${\;}^{\frac{5}{4}}$=c${\;}^{\frac{5}{4}}$”是“△ABC為鈍角三角形”的充分不必要條件，故③正確，
④若命題p：?A＞B，sinA＞sinB，則￢p：?A＞B，sinA≤sinB．故④錯誤，
故正確命題的序號是①③，
故答案為：①③．

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及充分條件和必要條件的判斷，三角形形狀以及余弦定理的應用，綜合性較強，有一定的難度．