Question

18．已知函數(shù)f（x）=x²+mx-|1-x²|（m∈R）．
（1）若m=3，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，2）上有且只有1個零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的解析式并化簡，根據(jù)函數(shù)類型判斷f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）分離參數(shù)得$m\;=\frac{{|1-{x^2}|}}{x}-x$，作出其函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象得出m的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)m=3時，f（x）=x²+3x-|1-x²|．
①當(dāng)-1≤x≤1時，$f（x）=2{x^2}+3x-1=2{（x+\frac{3}{4}）^2}-\frac{17}{8}$．
∴f（x）在$（-1，-\frac{3}{4}）$遞減，在$（-\frac{3}{4}，1）$遞增．
②當(dāng)x＜-1或x＞1時，f（x）=3x+1．
∴f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）遞增．
綜上，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）和$（-\frac{3}{4}，+∞）$，單調(diào)遞減區(qū)間為$（-1，-\frac{3}{4}）$．
（2）∵f（x）在區(qū)間（0，2）上有且只有1個零點，
∴方程x²+mx-|1-x²|=0在區(qū)間（0，2）上有且只有1解，
即方程$m\;=\frac{{|1-{x^2}|}}{x}-x$在區(qū)間（0，2）上有且只有1解，
從而函數(shù)$y=\frac{{|1-{x^2}|}}{x}-x，x∈（0，2）$圖象與直線y=m有且只有一個公共點．
作出函數(shù)$y=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}-2x，}&{0＜x＜1}\\{-\frac{1}{x}，}&{1≤x＜2}\end{array}}\right.$的圖象，
結(jié)合圖象知實數(shù)m的取值范圍是：$m≥-\frac{1}{2}$或m=-1．

點評 本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間，分段函數(shù)的零點個數(shù)判斷．屬于中檔題．