Question

18．如圖，四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，P是對角線BD上的一點，直線EP，PF分別交AB，DC的延長線于M，N．證明：線段MN被直線EF所平分．

Answer 1

分析 設(shè)EF∩MN=G，直線EF截△PMN，欲證G是線段MN的中點，只要證$\frac{PF}{NF}=\frac{PE}{ME}$，由此能證明線段MN被直線EF所平分．

解答 證明：設(shè)EF∩MN=G，直線EF截△PMN，
則$\frac{NG}{GM}•\frac{ME}{EP}•\frac{PF}{FN}$=1，
欲證G是線段MN的中點，只要證$\frac{PF}{NF}=\frac{PE}{ME}$，①
直線AB截△PDE，得$\frac{PM}{ME}•\frac{EA}{AD}•\frac{BD}{BP}$=1，即$\frac{MP}{2ME}=\frac{BP}{BD}$，②
直線CD截△PBF，則有$\frac{PN}{NF}•\frac{FC}{CB}•\frac{BD}{DP}$=1，即$\frac{NP}{2NF}=\frac{PD}{BD}$，③
②③相加，得$\frac{MP}{ME}+\frac{NP}{NF}=2$，即$\frac{NP}{NF}-1=1-\frac{MP}{ME}$，
即$\frac{PF}{NF}=\frac{PE}{ME}$，
∴線段MN被直線EF所平分．

點評 本題考查線段被直線平分的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．