Question

13．如圖，三棱柱中ABC-A₁B₁C₁，側(cè)棱與底面ABC垂直，且AB₁⊥BC₁，AB=AA₁=1，BC=2．
（I）證明：AB₁⊥A₁C₁；
（Ⅱ）求點(diǎn)A₁到平面ABC₁的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出AB₁⊥A₁B，AB₁⊥BC₁，從而AB₁⊥平面A₁BC₁，由此能證明AB₁⊥A₁C₁．
（Ⅱ）作A₁H⊥AC₁于H，則A₁H⊥平面ABC₁，由此利用等積法能求出點(diǎn)A₁到平面ABC₁的距離．

解答 證明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面ABC垂直，
∴AB=AA₁，∵AB=AA₁=1，
∴四邊形ABAA₁是正方形，∴AB₁⊥A₁B，
∵AB₁⊥BC₁，BC₁∩A₁B=B，
∴AB₁⊥平面A₁BC₁，
∵A₁C₁?平面A₁BC₁，∴AB₁⊥A₁C₁．
解：（Ⅱ）∵AB₁⊥A₁C₁，∴AB₁⊥AC
又BB₁⊥AC，AB₁∩BB₁=B₁，
∴AC⊥平面ABAA₁，∴AC⊥AB，∴A₁C₁⊥AB，
作A₁H⊥AC₁于H
∵AB⊥平面A₁C，∴AB⊥A₁H
∵AC₁∩AB=A
∴A₁H⊥平面ABC₁，
過A₁作A₁E⊥BC₁于E，∵$\frac{1}{2}•{A}_{1}H•A{C}_{1}=\frac{1}{2}•{A}_{1}A•AC$，
∴A1H=$\frac{{A}_{1}A•AC}{A{C}_{1}}$=$\frac{1×\sqrt{4-1}}{\sqrt{4-1+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴點(diǎn)A₁到平面ABC₁的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查異面直線垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．