Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$（x∈R），設△ABC的內角A，B，C對應邊分別為a，b，c，且c=$\sqrt{3}$，f（C）=0．
（1）求C的值．
（2）若向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）與向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共線，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡可得函數(shù)解析式為：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，由f（C）=0得sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，結合范圍-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，即可解得C的值．
（2）利用向量共線可得2sinA=sinB，由正弦定理可得b=2a，由余弦定理得a²+b²-ab=3，聯(lián)立解得a，b的值，利用三角形面積公式即可求值得解．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$，…（1分）
f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，…（2分）
由f（C）=0得sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，…（3分）
又∵-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，…（4分）
∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，…（5分）
即C=$\frac{π}{3}$…（6分）
（2）∵向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）與向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共線，
∴2sinA=sinB，…（7分）
∴b=2a，①…（8分）
由余弦定理，得a²+b²-ab=3，②…（9分）
∴由①②得：a=1，b=2…（10分）
∴△ABC的面積為$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（12分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，平面向量數(shù)量積的運算，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．