Question

8．如圖所示，正四棱錐P-ABCD中，O為底面正方形的中心，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角的正切值為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，若E是PB的中點(diǎn)，則異面直線PD與AE所成角的正切值為（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$

Answer 1

分析 取AD中點(diǎn)M，連接MO，PM，連接AE，OE，由OE∥PD，知∠OEA為異面直線PD與AE所成的角．由此能求出異面直線PD與AE所成角的正切值．

解答 解：取AD中點(diǎn)M，連接MO，PM，依條件可知AD⊥MO，AD⊥PO，∵PO⊥面ABCD，
∴∠PAO為側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角．
∵側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角的正切值為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，∴tan∠PAO=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
設(shè)AB=a，則AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴PO=AO•tan∠POA=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$a，
連接AE，OE，∵OE∥PD，∴∠OEA為異面直線PD與AE所成的角．
∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．又OE?平面PBD，∴AO⊥OE．
∵OE=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}\sqrt{P{O}^{2}+D{O}^{2}}$=$\frac{5}{4}$a，
∴tan∠AEO=$\frac{AO}{EO}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．