Question

1．已知⊙O：x²+y²=4（注：橫、縱坐標(biāo)是有理數(shù)的點稱為有理點）．
①⊙O上只有四個有理點；
②⊙O上有無數(shù)個有理點；
③⊙O上只有有限個無理點；
④以⊙O上點（1，$\sqrt{3}$）為圓心，半徑為4的圓上最多只有兩個有理點．
以上結(jié)論正確的序號為②．

Answer 1

分析 由新定義，結(jié)合圓的參數(shù)方程可得x=2cosα，y=2sinα（0≤α＜2π），通過舉例即可判斷①不對，②正確；
再由同角的平方關(guān)系，舉例判斷③不正確；對于④，通過推理，假設(shè)存在這樣的有理點，即可得到不成立．

解答 解：由x²+y²=4，可設(shè)x=2cosα，y=2sinα（0≤α＜2π），
可得點（0，2），（0，-2），（-2，0），（2，0），（$\frac{6}{5}$，$\frac{8}{5}$），（$\frac{6}{5}$，-$\frac{8}{5}$），
（-$\frac{6}{5}$，$\frac{8}{5}$），（-$\frac{6}{5}$，-$\frac{8}{5}$），（$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$），（$\frac{8}{5}$，-$\frac{6}{5}$），（-$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$），（-$\frac{8}{5}$，-$\frac{6}{5}$），…，滿足條件，
故①不對，②正確；
對于③，由x²+y²=4，可得（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
（$\sqrt{1.1}$，$\sqrt{2.9}$），…，均滿足條件，
故③不正確；
對于④，⊙O上點（1，$\sqrt{3}$）為圓心，半徑為4的圓，
可設(shè)為（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=16，若x，y均為有理數(shù)，則y必為0，x不為有理數(shù)，
故不存在這樣的有理點．故④錯誤．
故答案為：②．

點評 本題考查新定義的理解和運用，考查圓的方程的運用，考查推理能力，屬于中檔題．