Question

1．已知數(shù)列{a_n}（n∈N^*）是遞增的等比數(shù)列，且a₁+a₄=9，a₂a₃=8．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）已知b_n=$\frac{2}{3}{log_2}{a_n}+1，{c_n}=\frac{1}{{{b_{n-1}}{b_n}}}$（n≥2），其中c₁=3，令S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，若S_n＜$\frac{m-2007}{2}$對一切n∈N^*恒成立，求滿足條件的最小整數(shù)m．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得出a₁=1，a₄=8，從而求出公比，得出通項公式；
（2）求出c_n的通項公式，使用裂項法求出S_n，分離參數(shù)得出m＞2016-$\frac{9}{2n+1}$，根據(jù)右側(cè)數(shù)列的最大值即可得出整數(shù)m的最小值．

解答 解：（1）∵a₁•a₄=a₂a₃=8，a₁+a₄=9，a₁＜a₄，
∴a₁=1，a₄=8．
∴q³=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}$=8，∴q=2．
∴a_n=2^n-1．
（2）b_n=$\frac{2}{3}$log₂2^n-1+1=$\frac{2}{3}（n-1）+1$=$\frac{2}{3}n+\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$（2n+1）．
∴c_n=$\frac{1}{\frac{1}{3}（2n-1）•\frac{1}{3}（2n+1）}$=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）．（n≥2）
∴S_n=3+$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=3+$\frac{9}{2}$•（$\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{9n}{2n+1}$．
∵S_n＜$\frac{m-2007}{2}$，∴$\frac{9n}{2n+1}$＜$\frac{m-2007}{2}$，即m＞2007+$\frac{18n}{2n+1}$=2016-$\frac{9}{2n+1}$．
令f（n）=2016-$\frac{9}{2n+1}$，則f（n）在N⁺上是增函數(shù)，且f（n）＜2016．
∴整數(shù)m的最小值為2016．

點評 本體考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，裂項法求和及數(shù)列的最大值判斷，屬于中檔題．