Question

9．設F₁，F(xiàn)₂為橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，且|F₁F₂|=2c，若橢圓上存在點P使得|PF₁|•|PF₂|=2c²，則橢圓的離心率的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a，聯(lián)立|PF₁|•|PF₂|=2c²，求出|PF₂|，由|PF₂|≥a-c求得橢圓的離心率的最小值．

解答 解：由橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a，
聯(lián)立得$|P{F_1}|•|P{F_2}|=2{c^2}$，解得|PF₂|=a-$\sqrt{{a}^{2}-2{c}^{2}}$或|PF₂|=a+$\sqrt{{a}^{2}-2{c}^{2}}$．
∵a-$\sqrt{{a}^{2}-2{c}^{2}}$≤a+$\sqrt{{a}^{2}-2{c}^{2}}$，
∴由a-$\sqrt{{a}^{2}-2{c}^{2}}$≥a-c，得c≥$\sqrt{{a}^{2}-2{c}^{2}}$，
兩邊平方得：c²≥a²-2c²，即3c²≥a²，
∴e≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
即橢圓的離心率的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．