Question

11．如圖，A，B，C為⊙O上的三個(gè)點(diǎn)，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)B作⊙O的切線(xiàn)交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．
（Ⅰ）證明：BD平分∠EBC；
（Ⅱ）證明：AE•DC=AB•BE．

Answer 1

分析 （1）由BE是⊙O的切線(xiàn)，可得∠EBD=∠BAD，又∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD，從而可求∠EBD=∠CBD，即可得解．
（2）先證明△BDE∽△ABE，可得$\frac{BE}{AE}=\frac{BD}{AB}$，又可求∠BCD=∠DBC，BD=CD，從而可得$\frac{BE}{AE}=\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AB}$，即可得解．

解答 解：（1）因?yàn)锽E是⊙O的切線(xiàn)，所以∠EBD=∠BAD…（2分）
又因?yàn)椤螩BD=∠CAD，∠BAD=∠CAD…（4分）
所以∠EBD=∠CBD，即BD平分∠EBC．…（5分）
（2）由（1）可知∠EBD=∠BAD，且∠BED=∠BED，有△BDE∽△ABE，
所以$\frac{BE}{AE}=\frac{BD}{AB}$，…（7分）
又因?yàn)椤螧CD=∠BAE=∠DBE=∠DBC，所以∠BCD=∠DBC，BD=CD…（8分）
所以$\frac{BE}{AE}=\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AB}$，…（9分）
所以AE•DC=AB•BE…（10分）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定，與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的切線(xiàn)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．