Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）的圖象與x軸相切與M（3，0）．
（1）求f（x）得解析式，并求y=$\frac{f（x）}{x}$+4lnx的單調(diào)減區(qū)間；
（2）是否存在兩個不等正數(shù)s，t（s＜t），滿足$\left\{\begin{array}{l}{f（s）=t}\\{f（t）=s}\end{array}\right.$，若存在，求出所有這樣的正數(shù)s，t，否則請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)f（3）=0，f′（3）=0，求出a，b的值，從而求出f（x）的表達式，求出y=$\frac{f（x）}{x}$+4lnx的導數(shù)，得到其單調(diào)減區(qū)間；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{f（s）=t}\\{f（t）=s}\end{array}\right.$，得到關(guān)于s，t的方程組，判斷出s，t是方程x²-3x+1=0的兩根，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{f（3）=0}\\{f′（3）=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-6}\\{b=9}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x³-6x²+9x，
y=$\frac{f（x）}{x}$+4lnx=x²-6x+9+4lnx，
y′=$\frac{2（x-1）（x-2）}{x}$＜0，（x＞0），
∴1＜x＜2，
∴y=$\frac{f（x）}{x}$+4lnx的單調(diào)減區(qū)間是（1，2）；
（2）若存在兩個不等正數(shù)s，t（s＜t），滿足$\left\{\begin{array}{l}{f（s）=t}\\{f（t）=s}\end{array}\right.$，
兩式相減并除s-t得：（s+t）²-6（s+t）-st+10=0①，
兩式相除并開方得[s（s-3）]²=[t（t-3）]²，
即s（3-s）=t（3-t），整理得：s+t=3②，
則由①②可得$\left\{\begin{array}{l}{s+t=3}\\{st=1}\end{array}\right.$，
即s，t是方程x²-3x+1=0的兩根，即存在s=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，t=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$滿足要求．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．