Question

3．在直角坐標(biāo)系xOy中已知點(diǎn)A（1，1），B（3，3），C（4，2）．
（1）若$\overrightarrow{OQ}$=λ₁$\overrightarrow{OC}$+λ₂$\overrightarrow{OB}$，（λ₁，λ₂∈R，且滿足λ₁+λ₂=1．寫出Q的軌跡方程（可以只寫結(jié)果）；
（2）點(diǎn)P（x，y）在三角形ABC三邊圍成的區(qū)域內(nèi)（含邊界），若有$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m，n∈R）．用x，y表示m+n，并求m+n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)Q（x，y），由$\overrightarrow{OQ}$=λ₁$\overrightarrow{OC}$+λ₂$\overrightarrow{OB}$，可得（x，y）=λ₁（4，2）+λ₂（3，3），又λ₁+λ₂=1．消去λ₁，λ₂化簡即可得出．
（2）$\overrightarrow{AB}$=（2，2），$\overrightarrow{AC}$=（3，1）．由$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，可得（x，y）=m（2，2）+n（3，1）．解出可得m+n=$\frac{x+y}{4}$=t，化為y=-x+4t．如圖所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與直線BC重合時，t取得最大值，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A時，t取得最小值，即可得出．

解答 解：（1）設(shè)Q（x，y），∵$\overrightarrow{OQ}$=λ₁$\overrightarrow{OC}$+λ₂$\overrightarrow{OB}$，
∴（x，y）=λ₁（4，2）+λ₂（3，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=4{λ}_{1}+3{λ}_{2}}\\{y=2{λ}_{1}+3{λ}_{2}}\end{array}\right.$，又λ₁+λ₂=1．
化為：x+y=6．即為點(diǎn)Q的軌跡．
（2）$\overrightarrow{AB}$=（2，2），$\overrightarrow{AC}$=（3，1）．
∵$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，∴（x，y）=m（2，2）+n（3，1）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2m+3n}\\{y=2m+n}\end{array}\right.$，解得n=$\frac{x-y}{2}$，m=$\frac{3y-x}{4}$．
∴m+n=$\frac{x+y}{4}$=t，
化為y=-x+4t．
k_BC=$\frac{3-2}{3-4}$=-1．
如圖所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與直線BC重合時，t取得最大值，t=$\frac{4+4}{4}$=2．
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A時，t取得最小值，t=$\frac{1+1}{4}$=$\frac{1}{2}$．
∴m+n的取值范圍是$[\frac{1}{2}，2]$．

點(diǎn)評 本題考查了向量的線性運(yùn)算、線性規(guī)劃、直線方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．