Question

16．在△ABC中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且AD=CE=x，設(shè)四邊形BDEC的面積為S，周長(zhǎng)為c．
（1）分別寫出S，c關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出它們的定義域；
（2）分別求S，c的最小值及取最小值時(shí)相應(yīng)x的值；
（3）設(shè)BC的中點(diǎn)為F，問(wèn)：是否存在x值，使△DEF的面積恰為△ABC面積的$\frac{1}{4}$？若存在，求出x值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由S=S_△ABC-S_△ADE，運(yùn)用三角形的面積公式計(jì)算可得，再由勾股定理，可得周長(zhǎng)c的解析式和定義域；
（2）運(yùn)用二次函數(shù)的最值的求法，配方即可得到最值；
（3）假設(shè)存在x值，使△DEF的面積恰為△ABC面積的$\frac{1}{4}$．由S_△DEF=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{3}{2}$，又S_△DEF=S_△ABC-S_△ADE-S_△BDF-S_△CEF，化簡(jiǎn)整理，可得2x²-7x+6=0，解方程即可得到所求x．

解答 解：（1）S=S_△ABC-S_△ADE=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$x（4-x）=6-$\frac{1}{2}$x（4-x），定義域?yàn)椋?，4）；
c=$\sqrt{{x}^{2}+（4-x）^{2}}$+3-x+x+5=8+$\sqrt{{x}^{2}+（4-x）^{2}}$，定義域?yàn)椋?，4）；
（2）由x（4-x）=-（x-2）²+4，當(dāng)x=2時(shí)，取得等號(hào)．
即有S的最小值為6-$\frac{1}{2}$×4=4；
由x²+（4-x）²=2x²-8x+16=2（x-2）²+8，當(dāng)x=2時(shí)，取得最小值8，
即有c的最小值為8+2$\sqrt{2}$；
（3）假設(shè)存在x值，使△DEF的面積恰為△ABC面積的$\frac{1}{4}$．
即有S_△DEF=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{3}{2}$，
又S_△DEF=S_△ABC-S_△ADE-S_△BDF-S_△CEF
=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$x（4-x）-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{5}$×$\frac{5}{2}$（3-x）-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{5}{2}$x=$\frac{3}{2}$，
化簡(jiǎn)可得2x²-7x+6=0，
解得x=2或$\frac{3}{2}$．
故存在x=2或$\frac{3}{2}$，使△DEF的面積恰為△ABC面積的$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，考查三角形的面積公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．