Question

17．求函數(shù)f（x）=x²+2x在[t，1]上的值域．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=（x+1）²-1 的圖象的對稱軸方程為x=-1，分類討論t的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)在[t，1]上的值域．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²+2x=（x+1）²-1，圖象的對稱軸方程為x=-1．
當(dāng)-1≤t＜1時，函數(shù)f（x）=x²+2x在[t，1]上單調(diào)遞增，最小值為f（t）=t²+2t，最大值為f（1）=3，函數(shù)的值域?yàn)閇t²+2t，3]．
當(dāng)-3≤t＜-1時，函數(shù)f（x）=x²+2x在[t，-1]上單調(diào)遞減，在[-1，1]上單調(diào)遞增，函數(shù)的最小值為f（-1）=-1，最大值為f（1）=3，函數(shù)的值域?yàn)閇-1，3]．
當(dāng)t＜-3時，函數(shù)f（x）=x²+2x在[t，-1]上單調(diào)遞減，在[-1，1]上單調(diào)遞增，函數(shù)的最小值為f（-1）=-1，最大值為f（t）=t²+2t，函數(shù)的值域?yàn)閇-1，t²+2t]．

點(diǎn)評 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．