Question

18．函數(shù)f（x）=sin3x，滿足$\frac{f（{x}_{i}）}{{x}_{i}}$=m，其中x_i∈[-2π，2π]，i=1，2，…n，n∈N^*，則n的最大值為12．

Answer 1

分析 由條件利用正弦函數(shù)的圖象的特征，直線的斜率公式，求得n的最大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin3x，滿足$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=m，其中x_i∈[-2π，2π]，i=1，2，…n，n∈N^*，
可得圖象上的點(diǎn)（x_i，f（x₁））與原點(diǎn)連線的斜率為定值m，
故當(dāng)n最大時(shí)，m=0，點(diǎn)（x_i，f（x_i））為f（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)（原點(diǎn)除外）．
∵函數(shù)f（x）=sin3x的周期為$\frac{2π}{3}$，故[-2π，2π]包含6個(gè)周期，故滿足$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=m的點(diǎn)（x_i，f（x_i））共有12個(gè)，
則n的最大值為12，
故答案為：12．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征，直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題．