Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+a²lnx，x∈（$\frac{a}{3}$，a）（a＞0）．
（1）當a=2時，求點P（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)y=f（x）在定義域上有最大值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導數(shù)，求得切線的斜率和切點坐標，由點斜式方程即可得到切線的方程；
（2）求出導數(shù)，令導數(shù)為0，解方程求得極值點，由題意可得在定義域內(nèi)只有極大值點，得到不等式組，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）當a=2時，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+4lnx，
f′（x）=x-2+$\frac{4}{x}$，
即有f（x）在點P（1，f（1））處的切線斜率為k=1-2+4=3，
f（1）=$\frac{1}{2}$-2=-$\frac{3}{2}$，
則點P（1，f（1））處的切線方程為y+$\frac{3}{2}$=3（x-1），
即為6x-2y-9=0；
（2）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+a²lnx的導數(shù)為f′（x）=x-2+$\frac{{a}^{2}}{x}$，
令f′（x）=0，解得x=1±$\sqrt{1-{a}^{2}}$，（0＜a＜1），
由于函數(shù)y=f（x）在（$\frac{a}{3}$，a）上有最大值，
當$\frac{a}{3}$＜x＜1-$\sqrt{1-{a}^{2}}$時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
1-$\sqrt{1-{a}^{2}}$＜x＜a時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有f（x）在（$\frac{a}{3}$，a）上，x=1-$\sqrt{1-{a}^{2}}$處f（x）取得極大值，也為最大值．
由1-$\sqrt{1-{a}^{2}}$＜a，解得0＜a＜1，
由$\frac{a}{3}$＜1-$\sqrt{1-{a}^{2}}$，解得a＞$\frac{3}{5}$．
即$\frac{3}{5}$＜a＜1，
即有a的取值范圍是（$\frac{3}{5}$，1）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，主要考查導數(shù)的幾何意義和最值的求法，屬于中檔題．