Question

15．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ，則S₂₀₁₅等于（　�。�

• A． 2²⁰¹⁵-1
• B． 2¹⁰⁰⁸-3
• C． 2¹⁰⁰⁹-3
• D． 2¹⁰⁰⁹-2

Answer 1

分析 通過(guò)a_n+1•a_n=2ⁿ，作商可知$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}中奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1•a_n=2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n+2}•{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}•{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{{2}^{n}}$=2，
即$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2，
又∵a₁=1，
∴a₂=$\frac{{2}^{1}}{{a}_{1}}$=2，
∴數(shù)列{a_n}中奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，
偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，
又∵前2015項(xiàng)中共有奇數(shù)項(xiàng)1008項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)1007項(xiàng)，
∴S₂₀₁₅=$\frac{1-{2}^{1008}}{1-2}$+$\frac{2（1-{2}^{1007}）}{1-2}$
=2¹⁰⁰⁸-1+2¹⁰⁰⁸-2
=2¹⁰⁰⁹-3，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，找出奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．