Question

12．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩條漸近線與拋物線y²=2px（p＞0）的準線分別交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，若雙曲線C的離心率為2，且△AOB的面積為$\sqrt{3}$，則△AOB的內(nèi)切圓的半徑為2$\sqrt{3}$-3．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的離心率求出a，b的關(guān)系，和漸近線，結(jié)合雙曲線和拋物線的相交關(guān)系求出A，B的坐標(biāo)，建立方程關(guān)系，結(jié)合三角形的面積公式進行求解即可．

解答 解：由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}$=2，得$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，即雙曲線漸近線為y=±$\sqrt{3}$x，
聯(lián)立x=-$\frac{p}{2}$ 解得A（-$\frac{p}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$p），B（-$\frac{p}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$p），
所以S_△AOB=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}p×\frac{p}{2}$=$\sqrt{3}$，
解得p=2，所以A（-1，$\sqrt{3}$），B（-1，-$\sqrt{3}$），
 所以△AOB三邊長為2，2，2$\sqrt{3}$，
設(shè)△AOB內(nèi)切圓半徑為r，由$\frac{1}{2}$（2+2+2$\sqrt{3}$）r=$\sqrt{3}$，
解得r=2$\sqrt{3}$-3．
故答案為：2$\sqrt{3}$-3

點評 本題主要考查雙曲線的方程和性質(zhì)，結(jié)合雙曲線和拋物線的關(guān)系結(jié)合三角形的面積公式建立方程是解決本題的關(guān)鍵．