Question

16．當k為何值時，直線y=kx+k-2與拋物線y²=4x只有一個公共點？有兩個公共點？沒有公共點？

Answer 1

分析 設(shè)出直線方程代入拋物線方程整理可得k²x²+（2k²-4k-4）x+k²-4k+4=0（*）
（1）直線與拋物線只有一個公共點?（*）只有一個根
（2）直線與拋物線有2個公共點?（*）有兩個根
（3）直線與拋物線沒有一個公共點?（*）沒有根

解答 解：由題意，直線y=kx+k-2代入拋物線方程整理可得k²x²+（2k²-4k-4）x+k²-4k+4=0（*）
（1）直線與拋物線只有一個公共點等價于（*）只有一個根
①k=0時，y=-2符合題意；
②k≠0時，△=（2k²-4k-4）²-4k²（k²-4k+4）=0，整理，得-k²+2k+1=0，
解得k=1±$\sqrt{2}$．
綜上可得，k=1±$\sqrt{2}$或k=0；
（2）有兩個公共點等價于（*）有2個根
由（1）得-k²+2k+1＞0且k≠0，∴1-$\sqrt{2}$＜k＜1+$\sqrt{2}$且k≠0；
（3）沒有公共點等價于（*）沒有根
由（1）得-k²+2k-1＜0且k≠0，∴k＞1+$\sqrt{2}$或k＜1-$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了由直線與拋物線的位置關(guān)系的求解參數(shù)的取值范圍，一般的思路是把位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程解的問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．