Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-a，x≤0}\\{{x}^{2}-3ax+a，x＞0}\end{array}\right.$有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{4}{9}$，1]
• B． [$\frac{4}{9}$，1]
• C． （$\frac{4}{9}$，+∞）
• D． （0，1]

Answer 1

分析 由題意可得需使指數(shù)函數(shù)部分與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，拋物線部分與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，由函數(shù)圖象的平移和二次函數(shù)的頂點(diǎn)可得關(guān)于a的不等式，解之可得答案．

解答 解：由題意可知：函數(shù)圖象的左半部分為單調(diào)遞增指數(shù)函數(shù)的部分，
函數(shù)圖象的右半部分為開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱(chēng)軸為x=$\frac{3a}{2}$，最多兩個(gè)零點(diǎn)，
如上圖，要滿足題意，必須指數(shù)函數(shù)的部分向下平移到與x軸相交，
由指數(shù)函數(shù)過(guò)點(diǎn)（0，1），故需下移至多1個(gè)單位，故0＜a≤1，
還需保證拋物線與x軸由兩個(gè)交點(diǎn)，故最低點(diǎn)$\frac{4×1×a-（-3a）^{2}}{4×1}$＜0，
解得a＜0或a＞$\frac{4}{9}$，綜合可得$\frac{4}{9}$＜a≤1，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．