Question

2．已知函數(shù)f（x）=x²-2bx+3，b∈R．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點（4，3），求實數(shù)b的值；
（2）當x∈[-1，2]時，函數(shù)y=f（x）的最小值為1，求當x∈[-1，2]時，函數(shù)y=f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）把點的坐標代入f（x）計算；
（2）對f（x）的對稱軸與區(qū)間[-1，2]的關(guān)系進行分情況討論，判斷f（x）的單調(diào)性，利用單調(diào)性解出b，再求出最大值．

解答 解：（1）把（4，3）代入f（x）得16-8b+3=3，∴b=2．
（2）f（x）的圖象開口向上，對稱軸為x=b．
①若b≤-1，則f（x）在[-1，2]上是增函數(shù)，
∴f_min（x）=f（-1）=4+2b=1，解得b=-$\frac{3}{2}$．
∴f_max（x）=f（2）=7-4b=13．
②若b≥2，則f（x）在[-1，2]上是減函數(shù)，
∴f_min（x）=f（2）=7-4b=1，解得b=$\frac{3}{2}$（舍）．
③若-1＜b＜2，則f（x）在[-1，b]上是減函數(shù)，在（b，2]上增函數(shù)．
∴f_min（x）=f（b）=-b²+3=1，解得b=$\sqrt{2}$或b=-$\sqrt{2}$（舍）．
∴f_max（x）=f（-1）=4+2b=4+2$\sqrt{2}$．
綜上，當b≤-1時，f（x）的最大值為13，當-1＜b＜2時，f（x）最大值為4+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性與對稱軸的關(guān)系，分類討論思想，屬于中檔題．