Question

10．設(shè)a＞0，b＞0若$\sqrt{{3}^{5}}$是3^a與3^b的等比中項，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{8}{3}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． 4
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得a+b=5．再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞0，$\sqrt{{3}^{5}}$是3^a與3^b的等比中項，
∴${3}^{a}•{3}^=（\sqrt{{3}^{5}}）^{2}$=3⁵，
化為a+b=5．
則$\frac{1}{a}+\frac{1}$=$\frac{1}{5}（a+b）$$（\frac{1}{a}+\frac{1}）$=$\frac{1}{5}（2+\frac{a}+\frac{a}）$$≥\frac{1}{5}$$（2+2\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}）$=$\frac{4}{5}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{5}{2}$時取等號．
故選：B．

點評 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．