Question

13．已知函數(shù)f（x）=Asin（$\frac{π}{3}$x+φ），x∈R，A＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$．y=f（x）的部分圖象如圖所示，P、Q 分別為該圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，A）．點(diǎn)R的坐標(biāo)為（1，0），∠PRQ=$\frac{3π}{4}$．
（1）求f（x）的最小正周期以及解析式．
（2）用五點(diǎn)法畫出f（x）在x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{11}{2}$]上的圖象．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)周期公式求出函數(shù)f（x）的最小正周期，由P（1，A）在$f（x）=Asin（\frac{π}{3}x+φ）$的圖象上，結(jié)合范圍0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可求φ，由圖象和條件設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再過(guò)點(diǎn)Q做x軸的垂線，設(shè)垂足為D，根據(jù)條件和正切函數(shù)求出A，從而可得函數(shù)解析式；
（2）利用五點(diǎn)作圖法即可作圖得解．

解答 解：（1）由題意得：f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{{\frac{π}{3}}}=6$，…（1分）
因?yàn)镻（1，A）在$f（x）=Asin（\frac{π}{3}x+φ）$的圖象上，
所以$sin（\frac{π}{3}+φ）=1$，
所以$\frac{π}{3}+φ=\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，即$φ=\frac{π}{6}+2kπ（k∈Z）$，
又因?yàn)?0＜φ＜\frac{π}{2}$，
因此，$φ=\frac{π}{6}$…（3分）
過(guò)Q做QD⊥x軸，垂足為D，設(shè)D（x₀，0），則Q（x₀，-A），由周期為6可知，RD=3，
由于$∠PRQ=\frac{3π}{4}$，
所以$∠DRQ=\frac{π}{4}$，于是QD=RD=3，
所以A=3，
∴$f（x）=3sin（\frac{π}{3}x+\frac{π}{6}）$．…（6分）
（2）列表如下：

x	-0.5	1	2.5	4	5.5
$\frac{π}{3}x+\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
$3sin（\frac{π}{3}x+\frac{π}{6}）$	0	3	0	-3	0

描點(diǎn)連線，作圖如下：

點(diǎn)評(píng) 本題考查了y=Asin（ωx+φ）的周期和圖象的關(guān)系，以及A的幾何意義，構(gòu)造直角三角形和求角是關(guān)鍵，考查作圖、識(shí)圖能力，屬于中檔題．