Question

9．函數(shù)f（x）=|x²-a²|（α＞0），動點P（m，n）滿足f（m）=f（n），且m＜n＜0，若動點P（m，n）的軌跡直線x+y+1=0沒有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• C． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）
• D． （0，$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，結(jié)合動點P（m，n）滿足f（m）=f（n），且m＜n＜0，得到P的軌跡m²+n²=2a²（$-\sqrt{2}a＜m＜-a$，-a＜n＜0）．再作出P的軌跡與直線x+y+1=0的圖象，數(shù)形結(jié)合求出使P的軌跡與直線x+y+1=0有交點的a的范圍，利用補集思想得答案．

解答 解：作出函數(shù)f（x）=|x²-a²|（a＞0）的圖象如圖：
動點P（m，n）滿足f（m）=f（n），且m＜n＜0，
則-a＜n＜0，
由x²-a²=a²，解得x=$±\sqrt{2}a$，∴$-\sqrt{2}a＜m＜-a$．
由f（m）=f（n），得|m²-a²|=|n²-a²|，
即m²-a²=-n²+a²，∴m²+n²=2a²．
∴動點P（m，n）的軌跡為m²+n²=2a²（$-\sqrt{2}a＜m＜-a$，-a＜n＜0）．
作出P的軌跡與直線x+y+1=0的圖象如圖：
P的軌跡為圓m²+n²=2a²上不含端點A，B的劣弧，
要使P的軌跡與直線x+y+1=0有交點，則-2a＜-1＜-$\sqrt{2}$a，解得：$\frac{1}{2}＜a＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴使動點P（m，n）的軌跡與直線x+y+1=0沒有公共點的實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）．
故選：D．

點評 本題考查軌跡方程，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，關(guān)鍵是對題意的理解，有一定難度．