Question

20．設函數(shù)f（x）=|x-1|+|2x-a|，若關(guān)于x的不等式f（x）≥$\frac{1}{4}{a^2}$+1對x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是[-2，0]．

Answer 1

分析 分類討論化簡函數(shù)f（x）的解析式，利用單調(diào)性求得函數(shù)的最小值，再由此最小值大于或等于$\frac{1}{4}{a^2}$+1，從而求得a的范圍．

解答 解：當$\frac{a}{2}$＜1時，由于f（x）=|x-1|+|2x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{a+1-3x，x＜\frac{a}{2}}\\{x+1-a，\frac{a}{2}≤x＜1}\\{3x-1-a，x≥1}\end{array}\right.$，故函數(shù)f（x）的最小值為f（$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{a}{2}$，
由關(guān)于x的不等式f（x）≥$\frac{1}{4}{a^2}$+1對x∈R恒成立，可得1-$\frac{a}{2}$≥$\frac{1}{4}{a^2}$+1，求得-2≤a≤0．
當$\frac{a}{2}$≥1，由于f（x）=|x-1|+|2x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{a+1-3x，x＜1}\\{x+1-a，1≤x＜\frac{a}{2}}\\{3x-1-a，x≥\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，故函數(shù)f（x）的最小值為f（1）=2-a，
由關(guān)于x的不等式f（x）≥$\frac{1}{4}{a^2}$+1對x∈R恒成立，可得2-a≥$\frac{1}{4}{a^2}$+1，求得a∈∅，
綜上可得a的范圍為[-2，0]，
故答案為：[-2，0]．

點評 本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．